Остановка 6

Экстремальные задачи и дифференциальные уравнения

Автостопом по математике

Экстремаль-
ные задачи
и дифферен-
циальные
уравнения

Ну что ж, дорогие путешественники - незаметно для самих себя мы уже довольно прилично забрели за экватор нашего математического глобуса.

Сначала мы долго занимались числами, которых становилось все больше и больше (как оказалось, и в привычном, и в не очень привычном для нас - канторовском смысле). Когда чисел стало так много, что они образовали целый континуум, мы приступили к изучению функций - определенного вида соответствий, которые можно установить между множествами действительных чисел. Некоторые из этих соответствий/функций оказались хорошими моделями различных природных процессов, и мы стали заниматься изучением тех способов, с помощью которых из функций можно извлекать полезную информацию о сущностных свойствах этих процессов.

Вооруженные понятиями предела и непрерывности функции мы смело двинулись вперед и познакомились с двумя фундаментальными процедурами математического анализа - дифференцированием и интегрированием.

В курсе математического анализа изучаются, в частности, так называемые «французские теоремы», позволяющие использовать производную как мощное средство исследования свойств функции, и в том числе - как инструмент отыскания ее экстремумов.

Дело в том, что это один из способов решения задач оптимизации, в которых ставится вопрос о принятии в том или ином смысле наилучшего возможного (или как еще иногда говорят - оптимального) решения. Определенные задачи оптимизации играют важную роль в естествознании, так как оказалось, многие природные законы выводятся
из допущения о том, что механические системы, свет, электричество, газ ведут себя так, как если бы они «хотели» минимизировать некоторые величины.

Физический смысл теоремы состоит в том, что скорость изменения функции в точке экстремума равна нулю. Неформально это можно проиллюстрировать на графике:

Сейчас мы покажем, как этот факт может быть использован в задачах оптимизации.Представьте себе, что вы стоите
у края прямоугольного свежевспаханного поля, окруженного дорогами:

Наверное, в этом месте и можно было бы провести условную линию экватора, или середины вашего/нашего обучения.

Давайте попробуем вспомнить, где он мог бы быть?

Почему отыскание экстремумов может быть важным?

Это очень мощный аппарат исследования поведения функций, и на этой остановке мы хотим предложить вам познакомиться с тем, как им пользуются не только математики, но и физики.

Пратусевич М. Я., Столбов К. М., Соломин В. Н. «Алгебра и начала математического анализа. Методические рекомендации. 11 класс»
(см. Глава 9, §60)

Доказательство данного утверждения, а также формулировки и доказательства остальных «французских теорем» вы найдете здесь:

пусть в точке x

0

0

0

функция f ( x ) имеет производную.

Если точка x

является точкой минимума

или максимума, то f ' ( x

) = 0.

Помните, геометрически производная функции f ( x ) в точке

представляла собой тангенс угла наклона касательной

к графику функции в этой точке. Как видно из рисунка, касательные в точках А, В, С и т д параллельны оси Х, и, следовательно, все имеют угол наклона к ней, равный нулю.

Ф

ерма:

Итак, одной из таких теорем является теорема

Это типичная экстремальная задача, которая решается также, как и задача о законе преломления света при распространении его в различных средах. Это может показаться удивительным, но все тот же Пьер Ферма предположил, что свет, имея в различных средах различную скорость распространения, будет двигаться так, чтобы преодолеть расстояние за кратчайшее время - этот экстремальный принцип и по сей день носит его имя.

Задачу про пугало мы можем сформулировать и в более общих терминах, поставив вопрос следующим образом: пусть даны две точки М и N, расположенные по разные стороны от некоторой прямой, разделяющей две среды:

Выразим время прохождения ломаной МОN как функцию от x:

Поскольку x был нами выбран так, что по смыслу задачи он может меняться от 0 до l, то задача свелась к тому, чтобы найти минимум функции t ( x ) на отрезке [ 0, l ].
Точками, подозрительными на экстремум, будут такие,
в которых производная t ( x ) обратится в ноль.

Поэтому будем брать производную.

Спрашивается, как вам следует идти? То есть, где должна находиться точка схода с дороге в поле, чтобы вы добрались до пугала за наименьшее время?

Стоит ли вам двигаться по катетам, пройдя тем самым как можно больше с большей скоростью, и как можно меньше - с меньшей?

Или нужно свернуть раньше? Зависит ли местоположение точки от того, насколько будет велика разница в скоростях?

Скорость движения по ровной дороге равна v ,

а по перепаханному полю - v .

Где-то в поле стоит пугало, к которому вам и нужно попасть.

Скорость движения в нижней полуплоскости равна

, то решением будет некоторая ломаная МОN.

Если же

.

, а отрезок |ON| - за время

Пусть отрезок |MO| тело (свет, точка, путник) преодолевает за время

Понятно, что если

, то решение - это прямая МN.

, а в верхней - v

равна

.

v = v

v = v

Требуется найти такую точку О на прямой, чтобы время пути было наименьшим.

Опустим перпендикуляры из точек M и N на прямую и введем дополнительные обозначения:

Хоть нашим рабочим принципом и является, по возможности, самостоятельный вывод всех положений, все же иногда разумно такой таблицей воспользоваться.

При решении настоящей задачи мы будем пользоваться описанными в этих параграфах приемами, теоретическое обоснование которых, надеемся, вы освоите самостоятельно.

Для того, чтобы убедиться в том, что равенство нулю производной функции t ( x ) является не только необходимым условием экстремума, но и достаточным, нам дополнительно нужно убедиться в том, что в точке, в которой производная обращается в ноль, производная меняет знак, причем,
с минуса на плюс - ведь только в этом случае экстремальная точка будет именно точкой минимума.

То есть, несмотря на интуитивное желание двигаться по катетам, такое решение становится оптимальным, только если скорость движения по полю бесконечно медленнее скорости передвижения по дороге!

Смена знака производной в критической точке - есть достаточное условие экстремума.

На остановке, посвященной производной функции, мы не тратили время
на отыскание производных конкретных функций, кроме одной, которую
мы специально подобрали для примера. Однако, в любой обязательный курс
по дифференциальному исчислению входят такие темы как «Производные элементарных функций», «Производная произведения и частного», «Производная сложной и обратной функций».

На остановке, посвященной производной функции,
мы не тратили время на отыскание производных конкретных функций, кроме одной, которую мы специально подобрали для примера. Однако, в любой обязательный курс по дифференциальному исчислению входят такие темы как «Производные элементарных функций», «Производная произведения и частного», «Производная сложной и обратной функций».

То есть, несмотря на интуитивное желание двигаться по катетам, такое решение становится оптимальным, только если скорость движения по полю бесконечно медленнее скорости передвижения
по дороге!

Если вернуться к задаче с пугалом, то угол α в ней равен 90
и при разнице скоростей по дороге и по полю вдвое сворачивать в поле нужно в тот момент, когда sin β будет равняться 1/2, или когда угол β станет равен 30

Пратусевич М. Я., Столбов К. М., Соломин В. Н. «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс». (§58 «Таблица производных. Первообразная»)

Чтобы всякий раз не выводить формулу производной той или иной функции заново, существуют таблицы производных - одна из таких таблиц приведена здесь:

А. В. Дорофеева «Высшая математика»,
(Глава 8 «Производная», §§ 8.5-8.8)

Все они блестяще и в очень доступной форме изложены в учебнике А. В. Дорофеевой:

,

o

.

o

И последнее. Единственность критической точки следует, в свою очередь, из монотонного возрастания самой производной как функции - этот факт мы устанавливаем, убеждаясь, что производная производной, т. е. вторая производная функции t ( x ) всюду положительна.

Которые, несмотря на их слегка сбивающее с толку название, решаются с помощью интегрирования. Однако, давайте обо всем по порядку.

Решение ифференциального уравнения с заданными начальными условиями носит название задачи Коши.

Решение дифференциальных уравнений есть широкое обобщение задачи интегрирования, понимаемой как нахождение первообразной функции по заданной функции g ( x ). Вообще говоря, нахождение первообразной - уже есть решение простейшего дифференциального уравнения u = g ( x ).

В отличие от алгебраического уравнения, решением дифференциального уравнения является не число,
а целиком функция.

Это был всего лишь один пример экстремальной задачи, но мы надеемся, что с его помощью вы смогли почувствовать суть самого подхода к такого рода проблемам.

В отличие от алгебраического уравнения, решением дифференциального уравнения является не число, а целиком функция.

А мы тем временем переходим, ни много ни мало - к дифференциальным уравнениям!

Собственно, при рассмотрении примера с функцией скорости, меняющейся по закону

мы тем самым решили дифференциальное уравнение.

Важно отметить, что когда речь идет о неопределенном интеграле и отыскиванию первообразной функции f ( x ), то решениями будет

целое семейство функций

,

Чтобы избежать этой неопределенности, требуется знать
дополнительно начальные условия. Поскольку путь у нас зависит от времени, то x = t , и, подставляя в уравнение пути начальный момент времени x = t = 0 , мы получим, что f ( 0 ) = c .

и отыскав по ней функцию пути

где c - произвольная

постоянная.

А. В. Дорофеева «Высшая математика»
(§§ 9.2-9.3)

Обязательно прочитайте об этом:

Пратусевич М. Я., Столбов К. М., Соломин В. Н. «Алгебра и начала математического анализа.
11 класс». (§62 «Вторая производная. Выпуклые функции»)

Признаки возрастания и убывания функции, в принципе, также хорошо изложены у Дорофеевой, однако, для более внимательного знакомства с методами исследования поведения функций при помощи вторых производных мы бы порекомендовали вам не ограничиваться учебником Дорофеевой, а почитать:

В. М. Тихомиров «Рассказы
о максимумах и минимумах»

Обязательно прочитайте её!

Большое число разнообразных примеров с фрагментами теории вы найдете в замечательной книжечке:

Потребность в решении дифференциальных уравнений пришла, преимущественно, из физики, поскольку в природе часто встречается такая ситуация, когда более доступной оказывается информация о скорости протекания процесса, но не закон, по которому идет сам процесс.

Зная коэффициент роста/убыли и начальное количество, мы оказываемся
в состоянии определить фактическое количество в любой момент времени t .

Там нами была проделана довольно большая работа - мы строили последовательность, раскладывали ее по формуле бинома Ньютона, переходили к пределу, и все равно - на странице журнала нам лишь удалось показать, что при 100 процентах годовых и при неограниченной частоте выплат по процентам, наш вклад может не просто удвоиться,
а увеличиться почти в три раза, но утроиться не сможет никогда.

Вспомним для этого сначала определение производной функции в точке:

Есть такая теорема, что переменную величину, имеющую предел, можно представить в виде суммы ее предела и бесконечно малой величины -

Значит, если функция имеет производную в данной точке, то ее приращение Δf в данной точке можно представить в виде: Δf = f Δx + α Δx . Графически
это будет выглядеть так:

поэтому

Иногда какая-нибудь количественная характеристика - масса вещества или размер популяции - представляет из себя функцию времени u = f ( t )
и изменяется так, что в каждый момент времени скорость ее изменения пропорциональна количеству, то есть u = ku, где коэффициент пропорциональности k положителен, если количество растет,
и отрицателен - если убывает.

1

u = u

Заметив же, что скорость роста капитала пропорциональна самому капиталу , мы сразу могли бы написать дифференциальное уравнение

u , равном 1,

при начальном

данного дифференциального уравнения

и тогда число e возникло бы почти моментально как решение

капитале

,

и времени t в один год.

Перед тем, как двинуться дальше, хочется сказать несколько слов об используемых в записи дифференциальных уравнений обозначениях.

Скажем сразу, что заметить эту пропорциональность не так уж и просто - попробуйте проделать это рассуждение сами, вспомнив предварительно для этого определение мгновенной скорости.

1

где c - произвольная постоянная,

является решением данного дифференциального уравнения.

u = ce

В качестве полезного упражнения предлагаем вам убедиться, что в любом случае показательная функция

при подстановке данной функции в уравнение равенство действительно выполняется.

Константа c известна, если известно исходное количество вещества: подставляя в уравнение

,

время t = 0, имеем u = c .

u = ce

где α ( x ) - бесконечно малая.

u = u e

Рассмотрим теперь с первого взгляда «совершенно безобидный» второй закон Ньютона:

Если не до конца понимаете, то смотрите:

Если далее рассмотреть функцию
С другой стороны, из равенства f = x следует, что df = dx. Следовательно, dx = Δx. Т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной,
и формулу для дифференциала можно переписать в виде:

Представим себе движущуюся планету массой m.
Ее пространственные координаты x ( t ), y ( t ) и z ( t ) являются функциями от времени, и, соответственно, компоненты ускорения равны их вторым производным

И, значит, величины
как компоненты силы F, в поле которой планета движется.
С другой стороны, если мы принимаем закон всемирного

тяготения, то нам известно, что

Поместив Солнце в начало координат, F раскладывается по компонентам следующим образом:

могут рассматриваться

Понимаете ли вы, что в нем содержатся аж целых три дифференциальных уравнения?

При

второе слагаемое αΔx будет произведением

двух бесконечно малых, и, следовательно, тоже стремится к нулю. Величину f Δx поэтому называют главной линейной частью приращения функции,
или дифференциалом:

Δx → 0

Поэтому при записи дифференциальных уравнений производную

функции u ( x ) часто обозначают не штрихом, а дробью -

При этом всю конструкцию нужно рассматривать как единый

символ производной, а не как дробь

Такая запись часто оказывается действительно более наглядной. Например, приведенная нами выше формула производной композиции функций выглядела бы следующим образом:

Например,

В результате получаем систему из трех дифференциальных уравнений

Чтобы получить первый результат, признаемся честно, нам пришлось бы изрядно повозиться - и такая работа выходит далеко за пределы «непринужденного Введения», каковым, безусловно, является наш Гид по Математике.

Но предупреждаем, что самостоятельно в этом материале вам будет разобраться, скорее всего, сложно. Поэтому мы также пообещаем обязательно вернуться к этому вопросу
на планируемых нами в будущем семинарах.
Отметим, однако, что выводимые в качестве решений системы дифференциальных уравнений уравнения конических сечений есть наглядный пример глубокой связи между математическим анализом и геометрией, которая ярче всего проявляется в бурном развитии такой области математики как аналитическая геометрия.

которые можно немного упростить, приняв GM за k:

Домножим пары уравнений 1 и 2, 2 и 3, 1 и 3, соответственно, на у и х, z и у, z и х, и вычтем их попарно одно из другого. Получим эквивалентную систему:

Интегрируя, получим:

Домножим каждое из уравнений, соответственно, на z, y и x, и сложим их все. Получим:

Покажем, что это есть уравнение плоскости, проходящей через начало координат. Для этого выведем это самое уравнение плоскости аналитическими методами:

Чтобы не быть голословными, мы сейчас покажем, как из составленной нами системы дифференциальных уравнений движения планеты под действием силы гравитации можно получить уравнение плоскости.

Решения этой системы приводят нас к двум очень глубоким результатам: во-первых, они полностью обосновывают эмпирические по своей сути законы Кеплера, поскольку функция, являющаяся их решением, есть уравнение эллипса (конического сечения, если быть совсем точным).

И во-вторых, решая эту систему, удается показать, что движение планет вокруг Солнца есть движение плоское, и в явном виде получить уравнение плоскости эклиптики.

Н. Н. Бухгольц «Основной курс теоретической механики».
(§37 «Движение свободной материальной точки под действием центральных сил»)

Здесь мы формально сошлемся на «Основной курс теоретической механики» Н. Н. Бухгольца.

Значит, мы получили уравнение плоскости. Его можно еще немного упростить.
Запишем

и обозначим число Ax + By + Cz через D .

В результате имеем уравнение плоскости:

Ax + By + Cz = D .

Соответственно, если D = 0 , то такая плоскость проходит через начало координат. И в точности этот результат мы получили, решая систему дифференциальных уравнений, полученных из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения.

Разумеется, это для тех, кто владеет английским языком в степени, достаточной для чтения такого рода литературы. Не пытаясь никого оскорбить, заметим, что знание иностранных языков существенным образом увеличивает ваши возможности в образовании - преимущества, которые оно дает, сложно переоценить…

Для этого рассмотрим плоскость α , расположенную в пространстве, перпендикулярный ей вектор n c координатами
( A, B, C ) и фиксированную точку плоскости

Тогда произвольная точка M ( x, y, z ) лежит в плоскости α,

если и только если вектор M M перпендикулярен вектору n.

Итак, дорогие мои путешественники, мы оказались в удивительной точке пространства математического - с одной стороны, вас ждет удивительный мир дифференциальных уравнений и их приложений к физике, экономике и многим другим областям естествознания.
С другой стороны, мы снова подошли к той большой развилке, в которой уже однажды находились - но двинулись в сторону изучения вещественнозначных функций и их анализа.

Поэтому скажем несколько слов о литературе для самостоятельного изучения «дифуров», и смело свернем в другую сторону - туда где мы еще не были. Тем более, что в этот раз мы гораздо лучше подготовлены - ведь теперь с нами мощный аппарат математического анализа.

Я. Б. Зельдович «Высшая математика для начинающих» (Главы 5, 6)

- вся книга блистательна, а в упомянутых главах теория дифференциальных уравнений предлагается в удивительно ненавязчивой, user friendly форме.

В качестве основной книги для чтения мы порекомендуем

Steven Holzner “Differential equations for dummies”

Кстати, об иностранных языках: рискнем предложить вашему вниманию еще один неформальный источник по теме -

Для этого рассмотрим плоскость α , расположенную
в пространстве, перпендикулярный ей вектор n c координатами
( A, B, C ) и фиксированную точку плоскости M (x , y , z ).