Интеграл
Автостопом по математике
Остановка 5
Сумма квадратов натуральных чисел от 1 до n вычисляется
Мы начнем эту тему с задачи
Предположим, что у нас есть парабола, и мы хотим вычислить площадь под этой кривой, ограниченную вертикальными линиями
Так как бы действовали какой-нибудь Евдокс или Архимед в нашем случае?
Тогда
Архимеду приписывают такой ход рассуждения:
разобьем промежуток длиной в 1 на n частей и заменим площадь под параболой ее приближенным значением, которое мы получим суммированием n прямоугольников
разобьем промежуток длиной в 1 на n частей и заменим площадь под параболой ее приближенным значением, которое мы получим суммированием n прямоугольников
Древние греки задачи о площадях называли задачами о квадратурах, поэтому вычисление площади под параболой они бы назвали квадратурой параболы.
Архимед
и
:
и высотой
по формуле
множеством способов, самый наглядный из которых такой:
которую можно получить
шириной
каждый,
где k пробегает от 1 до n.
множеством способов,
самый наглядный из которых такой:
Архимеду приписывают такой ход рассуждения:
разобьем промежуток длиной
в 1 на n частей и заменим площадь под параболой ее приближенным значением, которое мы получим суммированием n прямоугольников
разобьем промежуток длиной
в 1 на n частей и заменим площадь под параболой ее приближенным значением, которое мы получим суммированием n прямоугольников
3
вывод
И нам остается только вслед за Архимедом совершить «предельный переход», сделав n бесконечно большим, а ширину каждого прямоугольника — бесконечно малой. В результате получаем, что искомая квадратура параболы равняется
Собственно, мы только что проделали то, что называется интегрированием, или взятием определенного интеграла!
Собственно, мы только что проделали то, что называется интегрированием, или взятием определенного интеграла!
Таким образом,
Представим квадрат каждого числа k в виде суммы k слагаемых:
Затем повторим запись еще два раза, каждый раз располагая вершину с единицей в другом месте, и просуммируем числа, стоящие на одинаковых местах. Теперь нужно заметить, что сумма каждый раз будет получаться одна и та же: 2n + 1.
Затем повторим запись еще два раза, каждый раз располагая вершину с единицей в другом месте, и просуммируем числа, стоящие на одинаковых местах. Теперь нужно заметить, что сумма каждый раз будет получаться одна и та же: 2n + 1.
откуда
Итак
3S =
и запишем их все так, как показано на рисунке.
.
и запишем их все так,
как показано на рисунке.
.
Представим квадрат каждого числа k в виде суммы k слагаемых:
Затем повторим запись еще два раза, каждый раз располагая вершину с единицей в другом месте, и просуммируем числа, стоящие на одинаковых местах. Теперь нужно заметить, что сумма каждый раз будет получаться одна и та же: 2n + 1. А общее число таких слагаемых в каждом треугольнике равно
Затем повторим запись еще два раза, каждый раз располагая вершину с единицей в другом месте, и просуммируем числа, стоящие на одинаковых местах. Теперь нужно заметить, что сумма каждый раз будет получаться одна и та же: 2n + 1. А общее число таких слагаемых в каждом треугольнике равно
от 1 до n, т. е.
А общее число таких слагаемых в каждом треугольнике равно сумме чисел
сумме чисел
И нам остается только вслед за Архимедом совершить «предельный переход», сделав n бесконечно большим, а ширину каждого прямоугольника — бесконечно малой. В результате получаем, что искомая квадратура параболы равняется
Собственно, мы только что проделали то, что называется интегрированием, или взятием определенного интеграла!
Собственно, мы только что проделали то, что называется интегрированием, или взятием определенного интеграла!
2
Иначе говоря, интегрирование и дифференцирование — это обратные друг по отношению к другу операции, что и утверждает Основная теорема математического анализа.
Идея интеграла как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых величин со времен древних греков по большому счету изменений и не претерпела.
Но вот обнаружение тесной связи между интегрированием и дифференцированием — это бесспорно то новое, что принесли в математику Ньютон и Лейбниц.
Но вот обнаружение тесной связи между интегрированием и дифференцированием — это бесспорно то новое, что принесли в математику Ньютон и Лейбниц.
Правильно, она была равна
0
1
от
до
мы из точки
перейдем в точку
Но это в точности значение квадратуры нашей параболы, или площади под графиком функции
, на промежутке от 0 до 1!
То есть за время
то мы пройдем путь
меняется по закону
Но и обратное тоже верно — если наша скорость
то это значит, что мы имеем скорость, которая изменяется
по закону
по закону
это означало бы, что если наш путь изменяется по закону
В терминах пути и скорости
в точности бы равнялась
производная
А у функции
Помните, чему была равна производная функции
из предыдущей части?
из предыдущей части?
* проверьте
*
Разумеется, наше неформальное введение в теорию интегрирования не заменит самой теории, основы которой мы вам предлагаем самостоятельно изучить, воспользовавшись учебником А. Б. Дорофеевой:
А. Б. Дорофеева «Высшая математика»
(Глава 11. «Определенный интеграл»)
(Глава 11. «Определенный интеграл»)
Помните, чему была равна производная функции
из предыдущей части?
В терминах пути и скорости это означало бы, что если наш путь изменяется по закону
то это значит, что мы имеем скорость, которая изменяется по закону
Но и обратное тоже верно — если наша скорость меняется по закону
мы
.
.
.
