Скажем так. Соответствие между действительными числами и точками прямой в самом широком смысле есть некоторое отображение

Несмотря на то, что функция в математике определяется весьма абстрактно - как правило, по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент другого множества, и в этом определении
ничего не говорится о том, что элементами множеств должны быть числа, математический анализ раскрывает
всю мощность своего потенциала, только когда функции
в большинстве своем заданы формулами, а множества,
из которых и в которые это правило действует, являются множествами действительных чисел.

Это тоже абсолютно верно, но сколько-нибудь осмысленная постановка вопроса об этих самых бесконечно малых - а имеются в виду бесконечно малые сдвиги аргументов все тех же функций и соответствующие сдвиги их значений - возможна опять-таки благодаря устройству континуума, или множества действительных чисел

Часто также можно услышать, что математический анализ - это анализ бесконечно малых.

С помощью понятия функции можно, например,
очень точно определить движение:
если представить себе, что движущаяся в пространстве частица имеет координаты x, y и z , то движение частицы будет полностью определено, если мы представим каждую
из координат как функцию от времени:

Причем, время течет независимо, а изменение происходит по тому или иному закону - этот закон и называют функцией.

Мы могли бы исследовать все такие соответствия, и не прибегая к геометрическим метафорам и интерпретациям,
а могли бы воспользоваться интерпретацией физической.

Тогда соответствию
какого-то физического процесса, или еще шире -
изменения вообще.

Другими словами математический анализ -
это анализ соответствий вида

x = f ( t ), y = g ( t ), z = h ( t )

В любом случае, когда мы говорим о физических процессах и изменениях, то мы понимаем под этим ту или иную зависимость от времени.

Убедитесь в этом сами, прочитав главу 3 «Числовые функции»:

Закон, связывающий между собой изменение двух и более величин, может напрямую от времени и не зависеть.
Так, энергия тела зависит от его массы и скорости, давление -
от глубины, высота звука, производимого колеблющейся струной - от ее длины и т.п. Физика устанавливает и исследует все эти и подобные им зависимости, обнаруживаемые в природе, которые очень хорошо схватываются понятием функции.

можно было бы придать смысл

.

можно описать,

Ну а что же сам математический анализ как таковой - что анализируется в нем?

Давайте посмотрим, из каких же основных элементов состоит этот анализ - что является его основным инструментарием?

Мы могли бы исследовать
все такие соответствия, и не прибегая к геометрическим метафорам и интерпретациям,
а могли бы воспользоваться интерпретацией физической.

Тогда соответствию
можно было бы придать смысл
какого-то физического процесса, или еще шире - изменения вообще.

Закон, связывающий между собой изменение двух и более величин, может напрямую от времени и не зависеть. Так, энергия тела зависит от его массы и скорости, давление - от глубины, высота звука, производимого колеблющейся струной - от ее длины и т.п. Физика устанавливает
и исследует все эти и подобные
им зависимости, обнаруживаемые в природе, которые очень хорошо схватываются понятием функции.

С помощью понятия функции можно, например, очень точно определить движение:
если представить себе,
что движущаяся в пространстве частица имеет координаты x, y и z , то движение частицы будет полностью определено,
если мы представим каждую
из координат как функцию
от времени:

Это тоже абсолютно верно, но сколько-нибудь осмысленная постановка вопроса об этих самых бесконечно малых - а имеются
в виду бесконечно малые сдвиги аргументов все тех же функций
и соответствующие сдвиги
их значений - возможна
опять-таки благодаря устройству континуума, или множества действительных чисел

функция и её производная

Остановка 4

Некоторые свойства соответствий

и не вводя каких-то революционных понятий: ограниченность, монотонность, периодичность и т. п. характеристики функций, как правило, излагаются на сравнительно простом и доступном языке.

А. Г. Мордкович учебник «Алгебра. 9 класс» (Глава 3 «Числовые функции»)

функция и её

производная

Автостопом по математике

Но, пожалуй, центральным для всего математического анализа является понятие предела - последовательности или функции. Операция взятия предела называется предельным переходом. Например, когда мы считаем конечные суммы ряда

то при любом сколь-угодно большом, но конечном n сумма такого ряда немного не достигает двойки. Предельным переходом будет наше допущение, что мы «загнали таки n в самый конец бесконечности», и выводы, которые из такого допущения следуют:

что дробь

становится равной нулю, а вся сумма оказывается равна 2.

становится равной нулю, а вся сумма

оказывается равна 2.

приведем очень
простой пример:

Неявно предельным переходом в своих рассуждениях пользовались
еще древние греки - особенно далеко в развитии этих методов продвинулся Архимед при вычислении площадей и объемов фигур.

Вы могли бы возразить, что, мол, пример является искусственно усложненным, поскольку мы сразу видим, что в квадрате, площадь которого равна 1, помещаются два одинаковых треугольника - следовательно, площадь

каждого из них равна

Понятие предела функции является фундаментальным для математического анализа, поскольку с его помощью можно исследовать то, как изменяются значения функции в сколь-угодно малой окрестности некоторой точки.
Можно сказать и по-другому: с помощью предела мы исследуем поведение функции при неограниченном приближении аргумента функции к некоторому значению.
В случае предела последовательности, которая, как мы помним, есть частный случай функции, ее аргумент не может «неограниченно приближаться»
ни к чему, кроме бесконечности - случае же произвольной функции

это может быть любое действительное число.

На языке теории пределов формулируются такие понятия
как непрерывность функции, ее производная и интегрирование.

С понятием непрерывности функции очень тесно связано понятие разрывов функции, которые могут существенно различаться по своему характеру.

Если в самой точке разрыва функция не определена, то в первом случае функцию доопределить можно,
а во втором - нет.

Под характером разрыва опять таки понимается поведение функции при приближении ее аргумента к точке разрыва. (Вместо слов «поведение функции» можно сказать «поведение графика функции» - так, возможно, будет нагляднее.) Несмотря на большое разнообразие всевозможных разрывов, их подразделяют
на два больших класса - первого и второго рода.

Вы могли бы возразить, что, мол, пример является искусственно усложненным, поскольку мы сразу видим, что в квадрате, площадь которого равна 1, помещаются два одинаковых треугольника -

следовательно, площадь каждого из них равна

Откуда мы знаем, что площадь квадрата равна единице?

Вы могли бы возразить, что, мол, пример является искусственно усложненным, поскольку мы сразу видим, что в квадрате, площадь которого равна 1, помещаются два одинаковых треугольника -

следовательно, площадь каждого

из них равна

М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин «Алгебра и начала математического анализа.
11 класс». (Глава 8 «Предел и непрерывность функции»)

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., С. Б. Кадомцев и др. «Геометрия 7–9 класс». (Глава 6 «Площадь» и, в частности, § 50 «Площадь квадрата»)

А. В. Дорофеева «Высшая математика».
(Глава 7 «Непрерывность и разрывы функции»)

Площадь треугольника можно посчитать, разделив его на очень большое число очень узких прямоугольных полосочек так, как показано на рисунке. Можно заметить, что средняя длина двух находящихся на одинаковом расстоянии от

середины квадрата полосок будет составлять

теперь представим, что у нас есть бесконечное число таких полосочек, каждая из которой имеет бесконечно малую толщину, то они одинаково плотно покроют (или, как выразился бы Архимед - исчерпают) как интересующий
нас треугольник, так и половину квадрата,
площадь которого равна 1.

Следовательно, площадь треугольника равна

, и если мы

.

, но не спешите с выводами - а точнее, с посылками.

, но не спешите

с выводами - а точнее, с посылками.

.

.

-1

Y

X

1

1

и

и

такая, что

что f ( x ) = y. В таком случае функцию g обозначают

такой,

элементу

, которая каждому

ставит в соответствие единственный элемент такой,

объекты X и Y нетронутыми.

- это так называемые тождественные морфизмы, или стрелки, оставляющие

В терминах теории категорий, где существуют не только множества и функции,
а значительно более абстрактные объекты и стрелки, стрелка
называется изоморфной, если существует стрелка

,по которому

скажем несколько слов об обратных и сложных функциях.

В заключение нашего небольшого экскурса по основным свойствам функций (соответствий)

каждому элементу множества Х ставится в соответствие ровно один элемент
из множества Y, не следует, что обратное соответствие тоже будет функцией - поскольку у некоторых элементов Y может вообще не быть прообраза,
а некоторым, наоборот - может быть поставлено в соответствие несколько элементов из Х. Однако, если соответствие f было взаимно-однозначным,
то у такой функции существует обратная функция

Из общего определения функции как абстрактного правила

у функции существуют конечные

Эта классификация также дается в терминах пределов: в первом случае при неограниченном приближении к точке разрыва x

предельные значения (пускай и различные), в случаях же разрыва второго рода
по крайней мере один из пределов не существует или бесконечен:

0

2

Ну, наверное, потому что 1 = 1 х 1 = 1, но откуда мы знаем, что площадь квадрата со стороной a, равна a

2

?

Совершенно строгий и при этом очень доходчивый ответ на этот вопрос можно найти в учебнике по геометрии 7 - 9 классов. Читая учебник, нетрудно будет заметить, что когда сторона квадрата a выражается произвольным действительным числом, то разговор о его площади необходимо начинает использовать язык пределов.

О пределах и непрерывности функций читайте на страницах учебника

у функции существуют конечные

Эта классификация также дается в терминах пределов: в первом
случае при неограниченном приближении к точке разрыва x
у функции существуют конечные предельные значения (пускай
и различные), в случаях же разрыва второго рода по крайней мере
один из пределов не существует или бесконечен:

0

Более подробно о разрывах функций читайте

Площадь треугольника можно посчитать, разделив его на очень большое число очень узких прямоугольных полосочек так,
как показано на рисунке. Можно заметить, что средняя длина двух находящихся на одинаковом расстоянии от середины квадрата

полосок будет составлять

и если мы теперь представим, что у нас есть бесконечное число таких полосочек, каждая из которой имеет бесконечно малую толщину, то они одинаково плотно покроют (или, как выразился
бы Архимед - исчерпают) как интересующий нас треугольник, так и половину квадрата,
площадь которого равна 1.

Следовательно, площадь

треугольника равна

.

, но не спешите с выводами - а точнее, с посылками.

, но не спешите

с выводами - а точнее, с посылками.

,

А мы продолжаем наше путешествие, маршрут которого в данный момент привел нас вплотную к понятию производной. Возникновение этого понятия исторически связано с двумя задачами: задачей нахождения скорости движения и задачей проведения касательной к кривой.

Вообще задачу о скорости движения можно обобщить до задачи определения скорости всякого изменения вообще - если у нас имеется некоторый процесс,
то мы всегда можем поставить вопрос о том, с какой скоростью он протекает. Причем, если среднюю скорость можно определить, разделив произошедшие
за некоторое время изменения (выраженные количественно, разумеется)
на это время, сейчас нас будет интересовать отнюдь не она, а так называемая мгновенная скорость - скорость того или иного изменения в какой-то конкретный момент времени.

Давайте для наглядности снова представим себе функциональную зависимость пути s от времени t:

Поэтому при попытке ответить на таким образом поставленный вопрос и появляются опять наши старые знакомые - бесконечно малые.

Итак, по определению,

.

Предположим, что некоторый, зависящий от x процесс изменяется по закону f ( x ) = x

Давайте посчитаем, немного видоизменив определение производной:

Вопрос существования производной у той или иной функции, конечно, не такой простой - это просто пример мы выбрали простой и наглядный.

3

:

М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин «Алгебра и начала математического анализа.
11 класс». (Глава 4 «Функция». «Основные понятия»)

М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин «Алгебра и начала математического анализа.
11 класс». (Глава 9. §55 «Задача о касательной. Уравнение касательной»)

А. В. Дорофеева «Высшая математика»
(Главы 8 и 9)

Мгновенную скорость в момент времени t мы будем искать тоже в общем-то как среднюю, но и время, и путь будем брать малыми, «в пределе - бесконечно малыми».

Итак, зафиксируем некоторый момент времени t и следующий момент t + Δt.
К моменту t тело пройдет путь s ( t ), а к моменту t + Δt - путь s ( t + Δt ).
Значит, за промежуток времени Δt будет пройден путь Δs = s ( t + Δt ) - s ( t ).
Геометрически он равен отрезку АВ на нашем рисунке, а средняя скорость

на этом промежутке - отношению

Если промежуток времени большой, а тело двигалось неравномерно, то такая усредненная величина не будет характеризовать скорость в момент t достаточно точно, но если промежуток Δt сделать бесконечно малым, то у нас получится то, что нужно.

.

Чему будет равна «скорость изменения» этого процесса в точке x? А другими словами - чему равна производная функции f ( x ) = x

3

?

Нам же пора двигаться дальше - и познакомиться, наконец, с, возможно, наводящим на кого-то ужас понятие интеграла.

является подмножеством области

, то мы можем построить композицию функций

внутренней, а f - внешней.

определения функции

Если множество значений функции

, или сложную функцию h ( x ) = f ( g ( x )). Функцию g при этом называют

Скоростью в момент t называется предел средней скорости в промежутке Δt,
когда величина этого промежутка стремится к нулю:

Скоростью в момент t называется предел средней скорости в промежутке Δt, когда величина этого промежутка стремится к нулю:

равно

- это угол наклона секущей графика s ( t ). При стремлении Δt к нулю секущие

тоже будут как-то меняться, но в пределе совпадут с касательной к графику функции s ( t ) в точке t.

Заметьте, что опять-таки геометрически отношение

0

, то есть опять-таки, при бесконечно малом изменении

).

и обозначается f ' ( x

изменялся до какого-то нового x.

)

0

0

0

0

Обобщая проведенные для пути и времени рассуждения на произвольную функцию f ( x ), мы можем думать об изменении функции Δf = f ( x ) - f ( x
как о ее «пути», совершенном, пока аргумент x
При стремлении этого x к x
аргумента Δx мгновенная скорость изменения функции f ( x ) называется ее производной в точке x

Как у сложной функции, так и у обратной имеется ряд характерных свойств, которые мы настоятельно рекомендуем вам изучить самостоятельно, воспользовавшись учебником:

Мгновенную скорость в момент времени t мы будем искать тоже в общем-то как среднюю, но и время, и путь будем брать малыми, «в пределе - бесконечно малыми».

Итак, зафиксируем некоторый момент времени t и следующий момент t + Δt. К моменту t тело пройдет путь s ( t ), а к моменту
t + Δt - путь s ( t + Δt ). Значит, за промежуток времени Δt будет пройден путь Δs = s ( t + Δt ) - s ( t ). Геометрически он равен отрезку АВ на нашем рисунке, а средняя скорость

на этом промежутке - отношению

Если промежуток времени большой, а тело двигалось неравномерно, то такая усредненная величина не будет характеризовать скорость в момент t достаточно точно, но если промежуток Δt сделать бесконечно малым, то у нас получится то, что нужно.

.

Мгновенную скорость в момент времени t мы будем искать тоже в общем-то как среднюю, но и время, и путь будем брать малыми, «в пределе - бесконечно малыми».

Итак, зафиксируем некоторый момент времени t и следующий момент t + Δt. К моменту t тело пройдет путь s ( t ), а к моменту
t + Δt - путь s ( t + Δt ). Значит, за промежуток времени Δt будет пройден путь Δs = s ( t + Δt ) - s ( t ). Геометрически он равен отрезку АВ на нашем рисунке, а средняя скорость на этом промежутке -

отношению

равно

- это угол наклона секущей графика s ( t ).

Заметьте, что опять-таки геометрически отношение

При стремлении Δt к нулю секущие тоже будут как-то меняться, но в пределе совпадут с касательной к графику функции s ( t ) в точке t.

Строгие, подробные рассуждения относительно касательной проведены в Главе 9 учебника Пратусевич:

0

, то есть опять-таки, при бесконечно

).

и обозначается f ' ( x

изменялся до какого-то нового x.

0

0

0

0

Обобщая проведенные для пути и времени рассуждения на произвольную функцию f ( x ), мы можем думать об изменении функции Δf = f ( x ) - f ( x
 аргумент x

При стремлении этого x к x
малом изменении аргумента Δx мгновенная скорость изменения функции f ( x ) называется ее производной
в точке x

) как о ее «пути», совершенном, пока

Но обо всех важных нюансах, связанных с производной, вы прочтете уже сами в главах 8 и 9 учебника А. В. Дорофеевой.

является подмножеством области

то мы можем построить композицию функций

внутренней, а f - внешней.

определения функции

Если множество значений функции

или сложную функцию h ( x ) = f ( g ( x )). Функцию g при этом называют

,

,