Числовые системы. Построения
«циркулем и линейкой»

Остановка 3

Автостопом по математике

Числовые системы. Построения
«циркулем и линейкой»

Мы уже видели, что натуральные числа возникают как абстракция в процессе счета или упорядочивания вещей. Но людям в жизни приходится не только считать объекты, но и измерять величины - расстояние, время, площадь, вес и т. п. Какую бы единицу измерения мы ни выбрали, нет никаких причин думать, что измеряемая величина в общем случае будет представлять из себя целое число выбранных нами единиц - будет ей, что называется, кратной.

Таким образом проблема измерения снова сводится к счету: единица, разделенная на n равных частей, записывается как 1n, и если измеряемая величина содержит m таких частей, или вспомогательных единиц, то ее мерой будет mn частей. Число mn, являющееся отношением двух целых чисел, и есть то, что называют дробью, или рациональным числом (от слова ratio - отношение).

В таких случаях вводятся вспомогательные единицы, получающиеся разбиением основной единицы измерения на некоторое число n равных частей - так один час делится на 60 минут, метр - на 100 сантиметров, фут - на 12 дюймов, фунт - на 16 унций и т д.

Если мы измеряем, скажем, свой собственный вес, то его точное значение может лежать где-нибудь между 75 и 76 килограммами, то есть натуральных чисел для более точных измерений не достаточно.

Точно также, как натуральные числа требуют пополнения их отрицательными числами и нулем, чтобы мы могли свободно вычитать все из всего, оставаясь внутри системы, целые числа оказывается необходимо пополнить дробями, чтобы все на все делилось.

Необходимость расширения, или пополнения системы целых чисел можно объяснить и сугубо алгебраическими мотивами - такими, как желание иметь алгебраическую структуру, замкнутую относительно всех четырех алгебраических операций - сложения, вычитания, умножения и деления.

Р. Курант, Г. Робинс - «Что такое математика?» (с. 77-83)

Очень советуем вам ознакомиться с содержанием этого фрагмента книги, прежде чем двинуться с нами дальше и приступить к изучению новых видов чисел - иррациональных, т. е. таких величин, которые непредставимы в виде дроби mn.

Очень хорошо обо всем этом, а также о том, как интересно устроено множество рациональных чисел, пишут Курант и Роббинс:

Множество вещественных чисел является довольно сложно устроенным объектом, и на его более детальном изучении нужно будет остановиться немного позже.

Множество рациональных чисел, объединенное с множеством чисел иррациональных дает в итоге то, что называют континуумом, или вещественными числами.

Оказывается, что таким образом строятся не только все целые и рациональные числа, но и квадратные корни, квадратные корни из квадратных корней и вообще любые квадратичные иррациональности. Но вот, скажем, кубический корень уже не является геометрическим числом.

Сейчас же мы хотим обратить внимание на то, что в этом множестве можно выделить некоторые специального вида числа:

Есть прекрасная книга Василия Дмитриевича Чистякова «Три знаменитые задачи древности», в которой вы найдете изложенное в увлекательной и доступной форме обоснование того, почему задачи об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга не могут быть решены с помощью упомянутых геометрических построений.

В. Д. Чистяков «Три знаменитые задачи древности»

Геометрическим мы будем называть число, или величину, которую можно геометрически построить, имея в своем распоряжении некоторый эталонный единичный отрезок, а также право проводить прямые и окружности.

Коротко скажем, что задача удвоения куба состоит в том, чтобы построить куб, объем которого вдвое больше данного. Трисекция угла - это задача о делении произвольного угла на три равные части, и задача о квадратуре круга имеет целью построение квадрата, площадь которого равна площади данного круга. Последняя сводится по сути к построению числа π, которое не является не только геометрическим, но и алгебраическим.

Тут надо отметить, что алгебраическим числом может быть не только число вещественное, но и комплексное, но о них у нас будет разговор отдельный.

Вопрос о построениях, выполняемых с помощью циркуля и линейки вообще, прекрасно изложен в книге четвертой Энциклопедии элементарной математики - в главе, с названием «О разрешимости задач на построение циркулем и линейкой» - и мы фактически настаиваем на обязательности ее прочтения.

П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин «Энциклопедия элементарной математики. Книга 4»

Также выкладываем здесь ссылку на конспект спецкурса Михаила Баландина, где основные построения разбираются и обосновываются с невероятной тщательностью.

М. Баландин «Введение в построения циркулем и линейкой»

Алгебраическое число - это число, которое может возникнуть как решение, обращающее в ноль некоторый многочлен сколь-угодно большой степени с рациональными коэффициентами.

Так вот π не является корнем ни одного из бесконечного числа таких многочленов, и такие числа называют трансцендентными. К ним, в частности, относится и число e, а по поводу многих других данный вопрос остается открытым.

Но продолжим, однако, знакомство с нашей вновь и вновь пополняющейся числовой системой.

Итак, мы заявили, что рациональные числа, объединенные с иррациональными, дают нам в итоге множество всех действительных чисел, называемое часто континуумом.

Если мы попробуем установить взаимно-однозначное соответствие между всеми дробями и точками на прямой, то существование величин, несоизмеримых с величинами рациональными, будет означать наличие на такой прямой «дырок», или разрывов между любыми двумя дробями, несмотря на то, что последние натыканы на этой самой прямой, что называется, всюду плотно - в том смысле, что любой сколь угодно малый интервал прямой необходимо содержит рациональные точки. И даже более того - таких точек внутри него бесконечно много. И тем не менее - непредставимость величин дробями указывает нам на на то, что где-то на прямой они располагаются, но невыразимы при этом в терминах отношений двух целых.

Вообще говоря, иррациональное число есть бесконечная непериодическая десятичная дробь. Или предел некоторой последовательности дробей конечных.

С физической точки зрения, можно сказать, что у нас есть некоторая доступная наблюдению величина (точка на прямой), и в нашем распоряжении имеется прибор, производящий последовательность измерений этой величины со все возрастающей степенью точности, но всегда выражающейся рациональным числом. Предел такой последовательности приближений и будет иррациональным числом. Еще один способ пополнить множество рациональных чисел иррациональными - с помощью дедекиндовых сечений.

Об этом способе их задания, а также о некоторых других других важных подробностях устройства множества действительных чисел вы сможете прочесть у тех же Куранта и Роббинса в их блестящей книге «Что такое математика?», которую мы уже предлагали вам в качестве своего рода самоучителя.

Р. Курант, Г. Робинс - «Что такое математика?»
(§2. «Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы»)

Заметим - то, что рациональные и иррациональные числа заполняют прямую теперь уже абсолютно без промежутков, непрерывно, есть, вообще говоря, аксиома - мы просто полагаем, что бесконечно точное приближение любой точки прямой рациональными значениями возможно. Эта аксиома и носит название аксиомы полноты, или непрерывности действительных чисел.

Что же это за иррациональные числа такие, и причем тут непрерывность (континуум: от лат. continuum - непрерывное, сплошное)?

Ну а как тогда они выразимы?

Еще одним удивительным фактом устройства действительных чисел оказывается то, что множество действительных чисел не удается пересчитать - занумеровать натуральными.

Несмотря на то, что натуральных чисел бесконечно много, их оказывается меньше, чем действительных!

Это впервые обнаружил немецкий математик Георг Кантор, который для таких вот сравнений и подобных им манипуляций с бесконечностями построил целую теорию - теорию бесконечных множеств. С ее основами мы предлагаем вам познакомиться с помощью книжки А. В. Дорофеевой.

А. В. Дорофеева «Высшая математика»
(Глава: «Теория бесконечных множеств. Проблемы оснований математики»)

А более продвинутым путешественникам мы порекомендуем обратиться к книжке Н. К. Верещагина и А. Шень.

Н. К. Верещагин, А. Шень «Начала теории множеств»

Георг Кантор

Что же это за иррациональные числа такие, и причем тут непрерывность (континуум: от лат. continuum - непрерывное, сплошное)?

Несмотря на некоторые проблемы, связанные с основаниями, в настоящее время теория множеств является общепринятым и самым распространенным теоретическим фундаментом математики. Альтернативой ему служит, пожалуй, только теория категорий - начать знакомство с ней вы можете на сайте нашего журнала (обращайте внимание на обозначение разделов на обложках статей).

БОЛЬШАЯ РАЗВИЛКА

В нашем распоряжении оказались два достаточно мощных теоретических инструмента - действительные числа и аппарат теории множеств.

Самым естественным кажется продолжение движения в сторону математического анализа. Но посмотрите: введение числового континуума позволяет сопоставить любому отрезку прямой его меру, или «длину», выраженную действительным числом. Эта идея получает свое развитие в работах Пьера Ферма и Рене Декарта, которые предложили использовать систему координат для сопоставления каждой точке плоскости упорядоченной пары действительных чисел - ее абсциссы и ординаты.

Пьера Ферма

Куда было бы естественным двинуться, будучи вооруженными ими?

Декартовым произведением множеств А и В называют множество всех упорядоченных пар элементов (a, b) таких, что a сс A, b сс B, но из предыдущих глав, если вы почитали рекомендованные нами учебники, то уже должны знать, что декартово произведение любого конечного числа множеств ℝ равномощно самому ℝ, то есть как множество изоморфно ему.

2

Таким образом, не только отрезок, но и вообще всякий геометрический объект может быть поставлен в соответствие с множеством действительных чисел: точнее, плоский объект - с произведением двух множеств действительных чисел ℝ, или с так называемым декартовым произведением ℝ × ℝ = ℝ.. , «геометрический» объект произвольного n-мерного пространства - с декартовым произведением множеств
ℝ × ℝ ×. . .× ℝ = ℝ. .

Так, арифметизация геометрии способствовала зарождению огромного самодостаточного отдела геометрии - аналитической геометрии, где геометрические объекты и линии на плоскости и в пространстве задаются соответствующими уравнениями, которые изучаются впоследствии средствами алгебры и математического анализа.

В качестве введения эту увлекательную науку рекомендуем вам ставший уже классическим учебник Н. В. Ефимова “Краткий курс аналитической геометрии.

Н. В. Ефимов «Краткий курс аналитической геометрии»

О. Н. Цубербиллер «Задачи и упражнения по аналитической геометрии»

А также популярный ВУЗовский задачник Цубербиллер Задачи и упражнения по аналитической геометрии - несмотря на то, что книга названа задачником, она содержит весь необходимый для первого знакомства с теорией минимум. Хотя к геометрии мы еще вернемся.