натуральные числа
Автостопом по математике
Остановка 1
Ответом и будет их натуральное число: 1, 2, 3, 4…
Наверное, мы никогда уже точно не узнаем, как именно человечество изобрело (или правильнее будет сказать – открыло?) понятие числа. Несомненно одно: причудливое сочетание устройства самой реальности и устройства органов чувств, с помощью которых мы в этой реальности ориентируемся, дало нам в итоге некий невероятно продуктивный мем – число, как некую абстрактную характеристику вещей.
Наряду с их цветом, массой, размерами, объекты мира являются нам как множества. Уже в самом слове «объекты» содержится не только некая интуиция отдельности, индивидуальности, но и то, что все эти индивидуальности даны нам в каких-то количествах – так мы их видим, воспринимаем, мыслим.
То есть, когда (и только в этом случае – что важно принципиально) индивидуальность нам не важна, когда мы, так сказать, абстрагируемся от уникальности каждой снежинки, яблока или человека, или когда на яблоки, груши и персики мы начинаем смотреть как на фрукты, а в пределе – на все многообразие мира как на вещи, тогда мы можем спросить себя: а сколько же их?
1
Мем – это чрезвычайно полезный мем.
И пусть вас не пугает «круг в определении».
Понятие это, помимо вирусных словечек и оборотов, с бешеной скоростью разлетающихся по интернету, вообще говоря, означает некоторую минимальную самодостаточную единицу культурного смысла, которая копируется, мутирует
и отбирается аналогично биологическому гену. Наряду с числом, в качестве примеров мемов можно назвать алфавит, календарь, шахматы, колесо и т. п. носителей потенциального интеллекта – то есть это такие идеи, освоение которых не только требует интеллекта, но и добавляет его. Как и сам концепт мема, знание о котором, в частности, избавило бы меня от написания этой сноски.
И пусть вас не пугает «круг в определении».
Понятие это, помимо вирусных словечек и оборотов, с бешеной скоростью разлетающихся по интернету, вообще говоря, означает некоторую минимальную самодостаточную единицу культурного смысла, которая копируется, мутирует
и отбирается аналогично биологическому гену. Наряду с числом, в качестве примеров мемов можно назвать алфавит, календарь, шахматы, колесо и т. п. носителей потенциального интеллекта – то есть это такие идеи, освоение которых не только требует интеллекта, но и добавляет его. Как и сам концепт мема, знание о котором, в частности, избавило бы меня от написания этой сноски.
1
Пересадка
Мы же двинемся дальше, стараясь быть максимально краткими.
Сразу же обратим внимание на принципиальное различие между числом и цифрой, или символом, которым данное число обозначается. Число – это идея, концепт, количественная характеристика вещей.
А цифра – всего лишь символ, использующийся для записи или шире – представления данной идеи. Разница принципиальная!
А цифра – всего лишь символ, использующийся для записи или шире – представления данной идеи. Разница принципиальная!
Самых пытливых и дотошных путешественников по пространству математического мы отсылаем к замечательной книге голландского математика и историка науки Бартела Лендерта ван дер Вардена «Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции», в которой, в частности, поиски эффективной записи чисел изложены особенно красочно и драматично.
Б. Л. ван дер Варден «Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции»
Начиналось-то все, как многие, наверное, знают, с зарубок и пальцев – то есть, вообще говоря,
с установления взаимно-однозначного соответствия между одним «родом вещей»
и другим «родом вещей» – будь то зарубки, пальцы, палочки или черточки на стене.
с установления взаимно-однозначного соответствия между одним «родом вещей»
и другим «родом вещей» – будь то зарубки, пальцы, палочки или черточки на стене.
В этом смысле римские цифры недалеко ушли от зарубок. Подлинный прорыв случился лишь в Вавилоне – и связан он с появлением позиционной системы записи числа, то есть такой записи, в которой значение цифры определялось не только ее формой, но и ее местом, или позицией в записи.
Понимание того, как устроена,
и как работает позиционная запись числа – это первое содержательное усилие, которое вам предстоит сделать на пути в освоении математики.
и как работает позиционная запись числа – это первое содержательное усилие, которое вам предстоит сделать на пути в освоении математики.
Вообще, манипуляции, арифметические и не только, с позиционными системами счисления по различным основаниям – очень важная составляющая базового образования любого начинающего математика.
А. П. Шаманов «Системы счисления и представление чисел в ЭВМ»
И. Н. Бурдинский «Системы счисления и арифметика ЭВМ»
Для самостоятельного ознакомления с темой советуем вам воспользоваться следующими учебными пособиями: Шаманова, Брудинского, «Информатика. Базовый курс бакалавриата» и/или подождать выхода нашего продукта.
Мы, раз и навсегда – считающая цивилизация, и первое, что содержит радиосигнал, посланный от нас внеземным цивилизациям, это числа от 1 до 10 в двоичной системе счисления.
Удобство этой ментальной конструкции
трудно переоценить, но некоторые
из нас идут настолько далеко, что прикладной аспект чисел их нисколько не волнует,
и числа изучаются как самодостаточный объект. Как только мы перестаем пытаться что-то немедленно сосчитать – количество запасов нефти в мире, число песчинок в пустыне
или даже количество атомов в наблюдаемой Вселенной, а обращаем наш мысленный взгляд на числа сами по себе, мы тут же, например, замечаем, что они вообще не заканчиваются…
Речь у нас все еще идет о числах натуральных, т. е. таких, с помощью которых мы, собственно, и считаем что-либо: 1, 2, 3, ...
Удобство этой ментальной конструкции
трудно переоценить, но некоторые
из нас идут настолько далеко, что прикладной аспект чисел их нисколько не волнует,
и числа изучаются как самодостаточный объект. Как только мы перестаем пытаться что-то немедленно сосчитать – количество запасов нефти в мире, число песчинок в пустыне
или даже количество атомов в наблюдаемой Вселенной, а обращаем наш мысленный взгляд на числа сами по себе, мы тут же, например, замечаем, что они вообще не заканчиваются…
Речь у нас все еще идет о числах натуральных, т. е. таких, с помощью которых мы, собственно, и считаем что-либо: 1, 2, 3, ...
Все множество натуральных чисел, рассматриваемое целиком, принято обозначать буквой
Итак, будучи однажды «инфицированными» идеей, или мемом числа, мы никогда уже не станем прежними.
В свое время (в 1889 году) все подобные «интуитивно понятные» свойства натуральных чисел были собраны выдающимися итальянским математиком Джузеппе Пеано
в один небольшой список, который теперь носит название аксиом Пеано.
в один небольшой список, который теперь носит название аксиом Пеано.
Последнее свойство используется в математике для доказательств по индукции.
Это очень важный класс абсолютно строгих в математическом смысле, т. е. дедуктивных доказательств, обладающих, тем не менее, как своими особенностями, так и своими недостатками.
Это очень важный класс абсолютно строгих в математическом смысле, т. е. дедуктивных доказательств, обладающих, тем не менее, как своими особенностями, так и своими недостатками.
Аксиоматика Пеано для натуральных чисел выглядит следующим образом:
факт бесконечности такого множества мы устанавливаем «эмпирически» – осознав, что число, следующее за любым натуральным числом, также является натуральным числом.
.
ℕ
Дедуктивные идут от общего к частному: если мы по каким-то причинам договорились считать всех людей смертными, то вывод «Сократ тоже человек, и поэтому он смертен» из этой общей посылки будет примером дедуктивного рассуждения.
Если же мы отправимся наблюдать по всему миру слонов и не встретим ни одного розового, то наше обобщение «А слоны-то все, оказывается, серые» будет индуцировано этими частными наблюдениями, т. е. будет индуктивным.
Математическое же доказательство
«по индукции» являет собой исключительный случай так называемой полной индукции,
и поэтому, невзирая на обманчивое название, тоже является дедуктивным, т. е. логически столь же строгим, как и любое другое математическое рассуждение.
«по индукции» являет собой исключительный случай так называемой полной индукции,
и поэтому, невзирая на обманчивое название, тоже является дедуктивным, т. е. логически столь же строгим, как и любое другое математическое рассуждение.
Заметим, что бытующее среди математиков отчасти ироничное высказывание о том,
что математическая индукция хороша
«для доказательств утверждений, сделанных
не тобой» оказывается действительно очень точным – получая максимально строгое доказательство надежности той или иной математической конструкции, мы, тем не менее, зачастую не имеем
ни малейшего представления о том,
как эта конструкция создавалась.
что математическая индукция хороша
«для доказательств утверждений, сделанных
не тобой» оказывается действительно очень точным – получая максимально строгое доказательство надежности той или иной математической конструкции, мы, тем не менее, зачастую не имеем
ни малейшего представления о том,
как эта конструкция создавалась.
Как следствие, в ряде случаев желателен другой путь – проходя по которому мы будем понимать каждый проделанный шаг.
Книга, которую мы настоятельно рекомендуем внимательнейшим образом прочесть, и попытаться разобрать и решить самостоятельно хотя бы некоторые из приведенных в ней задач:
Заметим, что бытующее среди математиков отчасти ироничное высказывание о том,
что математическая индукция хороша «для доказательств утверждений, сделанных не тобой» оказывается действительно очень точным – получая максимально строгое доказательство надежности той или иной математической конструкции, мы,
тем не менее, зачастую не имеем
ни малейшего представления о том, как эта конструкция создавалась.
что математическая индукция хороша «для доказательств утверждений, сделанных не тобой» оказывается действительно очень точным – получая максимально строгое доказательство надежности той или иной математической конструкции, мы,
тем не менее, зачастую не имеем
ни малейшего представления о том, как эта конструкция создавалась.
Подведем первые итоги: вы начали свой путь с понятия натурального числа, познакомились с видами записи чисел, слегка коснулись основных числовых свойств и начали осваивать то, что, без преувеличения можно сказать, составляет самую суть математики – математические доказательства. Среди них было и такое, которое также опирается на одно из свойств натуральных чисел - доказательство по индукции. Теперь вы готовы к тому, чтобы продвинуться немного дальше и познакомиться с первой большой математической теорией – теорией чисел.
итоги
Вообще, в логике доказательства принято делить на два больших класса - дедуктивные
и индуктивные.
и индуктивные.
Примеры того, как вообще бывают устроены математические доказательства, вы сможете найти здесь:
А. Шень «Математическая индукция»
В. А. Успенский «Простейшие примеры математических доказательств»
